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DICAS DE CÁLCULOS RÁPIDOS

Cinquenta dicas para cálculo rápido,comumente encontradas no cotidiano e no comércio em geral. Mostradas em 23 grupos de dicas, sendo que os ítens do mesmo grupo apresentam características semelhantes.

Dica 01-1: Multiplicar por 10
Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita.

Exemplo: 12×10=120
Exemplo: 12,345×10=123,45

Dica 01-2: Multiplicar por 100
Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×100=1200
Exemplo: 12,345×100=1234,5

Dica 01-3: Multiplicar por 1000
Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×1000=12000
Exemplo: 12,345×1000=12345

Dica 01-4: Multiplicar por 10n
Deslocar a vírgula n casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×107=120000000
Exemplo: 12,345×107=123450000

Dica 02-1: Dividir por 10
Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda.

Exemplo: 12÷10=1,2
Exemplo: 12,345÷10=1,2345

Dica 02-2: Dividir por 100
Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷100=0,12
Exemplo: 12,345÷100=0,12345

Dica 02-3: Dividir por 1000
Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷1000=0,0120
Exemplo: 12,345÷1000=0,012345

Dica 02-4: Dividir por 10n
Deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷107=0,0000012
Exemplo: 12,345÷107=0,0000012345

Dica 03-1: Multiplicar por 4 = Dividir por 0,25
Tomar o dobro do dobro do número.

Exemplo: 4×16=2×2×16=2×32=64
Exemplo: 12,3×4=2×2×12,3=2×24,6=49,2

Dica 03-2: Multiplicar por 0,4 = Dividir por 2,5
Tomar o dobro do dobro do número e dividir por 10.

Exemplo: 0,4x16=2x2x16÷10=2x32÷10=64÷10=6,4
Exemplo: 0,4x12,3=2x2x12,3÷10=2x24,6÷10 =49,2÷10=4,92

Dica 03-3: Multiplicar por 40 = Dividir por 0,25
Tomar o dobro do dobro do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 40×16=2×2×16×10=2×32×10=64×10=640
Exemplo: 40x12,3=2x2x12,3×10=2x24,6×10 =49,2x10=492

Dica 04-1: Dividir por 4 = Multiplicar por 0,25
Tomar a metade da metade do número.

Exemplo: 16÷4=16÷2÷2=8÷2=4
Exemplo: 12,3÷4=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075

Dica 04-2: Dividir por 0,4 = multiplicar por 2,5
Tomar a metade da metade do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 16÷0,4=16÷2÷2x10=8÷2x10= 4x10=40
Exemplo: 12,3÷0,4=12,3÷2÷2x10=6,15÷2x10 =3,075x10=30,75

Dica 04-3: Dividir por 40 = Multiplicar por 0,25
Tomar a metade da metade do número e dividir por 10.

Exemplo: 16÷40=16÷2÷2÷10=8÷2÷10=4÷10=0,4
Exemplo: 12,3÷40=12,3÷2÷2÷10= 6,15÷2÷10 =3,075÷10=0,3075

Dica 05-1: Multiplicar por 5 = Dividir por 0,2
Tomar a metade do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 5×16=16÷2×10=8×10=80
Exemplo: 5×12,3=12,3÷2×10=6,15×10=61,5

Dica 05-2: Multiplicar por 0,5 = Dividir por 2
Tomar a metade do número.

Exemplo: 0,5×16=16÷2=8
Exemplo: 0,5×12,3=12,3÷2=6,15

Dica 05-3: Multiplicar por 50 = Dividir por 0,02
Tomar a metade do número e multiplicar por 100.

Exemplo: 50×16=16÷2×100=8×100=800
Exemplo: 50×12,3=12,3÷2×100=6,15×100=615

Dica 06-1: Dividir por 5 = Multiplicar por 0,2
Tomar o dobro do número e dividir por 10.

Exemplo: 16÷5=2×16÷10=32÷10=3,2
Exemplo: 12,3÷5=12,3×2÷10=24,6÷10=2,46

Dica 06-2: Dividir por 0,5 = Multiplicar por 2
Tomar o dobro do número.

Exemplo: 16÷0,5=2×16=32
Exemplo: 12,3÷0,5=12,3×2=24,6

Dica 06-3: Dividir por 50 = Multiplicar por 0,02
Tomar o dobro do número.

Exemplo: 16÷50=2×16÷100=32÷100=0,32
Exemplo: 12,3÷50=2×12,3÷100=24,6÷100=0,246

Dica 07-1: Elevar ao quadrado número da forma [M5]
Decompõe-se o número em duas partes: M e 5. A primeira parte M deve ser multiplicada por M+1 e ao resultado se acrescenta 25.

Justificativa Matemática

[M5] = 10M + 5 logo
[M5]² = (10M+5)² = 100 M² + 100M + 25
(10M+5)² = 100 (M² + M) + 25
(10M+5)² = 100 M × (M+1) + 25

Exemplo: 35²=(3x4)25=1225
Exemplo: 75²=(7x8)25=5625
Exemplo: 105²=(10x11)25=11025
Exemplo: 205²=(20x21)25=42025

Dica 08-1: Multiplicar por 11
Se o número tem dois algarismos na forma [MN] com M+N<10 então o produto é escrito como [M,M+N,N].

Justificativa Matemática

Como [MN] = 10M + N, então
(10M+N) × 11 = (10M+N) × (10+1)
(10M+N) × 11 = 100M + 10M + 10N + 1
(10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1
(10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1 = [M,M+N,1]

Exemplo: 35×11=(3,8,5)=385
Exemplo: 27×11=(2,9,7)=297

Dica 08-2: Multiplicar por 11
Se o número tem dois algarismos na forma [MN] e M+N>10 então, escreve-se [M+1,M+N-10,N].

Justificativa Matemática

Como [MN] = 10M + N, então
(10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1
(10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1
(10M+N)×11=100M +100 - 100 + 10(M+N)+1
(10M+N)×11=100(M+1)+10(M+N-10)+1=[M+1,M+N-10,1]

Exemplo: 78×11=(8,5,8)=858
Exemplo: 95×11=(10,4,5)=1045

Dica 08-3: Multiplicar por 11
Se o número tem três algarismos na forma [ABC] e A+B+C<10 então, escreve-se [A, A+B, B+C, C].

Justificativa Matemática

Como [ABC] = 100A + 10B + C, então
(100A+10B+C)×11 = (100A+10B+C)×(10+1)
(100A+10B+C)×11 = 1000A+100B+10C+100A+10B+C
(100A+10B+C)×11 = 1000A+100(A+B)+10(B+C)+C
(100A+10B+C)×11 = [A,A+B,B+C,C]

Exemplo: 134×11=(1,1+3,3+4,4)=(1,4,7,4)=1474
Exemplo: 235×11=(2,2+3,3+5,5)=(2,5,8,5)=2585

Dica 09-1: Multiplicar por 25 ou Dividir por 0,04
Dividir o número por 4 e multiplicar por 100.

Exemplo: 16×25=16÷2÷2×100=8÷2×100=4×100=400
Exemplo: 12,3×25=12,3÷2÷2×100=6,15÷2×100 =3,075×100=307,5

Dica 09-2: Multiplicar por 2,5 = dividir por 0,4
Dividir o número por 4 e multiplicar por 10.

Exemplo: 16×2,5=16÷2÷2×10=8÷2×10=4×10=40
Exemplo: 12,3×2,5=12,3÷2÷2×10=6,15÷2×10 =3,075×10=30,75

Dica 09-3: Multiplicar por 0,25 = dividir por 4
Dividir o número por 4.

Exemplo: 16×0,25=16÷2÷2=8÷2=4
Exemplo: 12,3×0,25=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075

Dica 10-1: Multiplicar por 101
Se o número tem dois algarismos na forma [AB] escreve-se o produto na forma [A,B,A,B]

Exemplo: 35×101=(3,5,3,5)=3535
Exemplo: 27×101=(2,7,2,7)=2727

Dica 10-2: Multiplicar por 101
Se o número tem três algarismos na forma [ABC] com A+C<10, escreve-se [A,B,A+C,B,C].

Justificativa Matemática

Como [ABC] = 100A + 10B + C, então
[ABC]×101 = (100A+10B+C)×101
[ABC]×101 = (100A+10B+C)×(100+1)
[ABC]×101 = 10000A+1000B+100C+100A+10B+C
[ABC]×101 = 10000A+1000B+100(A+C)+10B+C
[ABC]×101 = [A,B,A+C,B,C]

Exemplo: 435×101=(4,3,(4+5),3,5)=(4,3,9,3,5)=43935
Exemplo: 257×101=(2,5,(2+7),5,7) =(2,5,9,5,7)=25957

Dica 11-1: Multiplicar por 9
Se o número tem a forma [MN], basta acrescentar um zero no final do número MN (multiplicar por 10) e retirar o próprio número MN.

Exemplo: 35×9=350-35=315
Exemplo: 27×9=270-27=243

Dica 11-2: Multiplicar por 99
Se o número tem a forma MN, como 99=100 - 1, basta acrescentar dois zeros ao número MN (multiplicar por 100) e retirar o próprio número MN.

Exemplo: 35×99=3500-35=3465
Exemplo: 27×99=2700-27=2673

Dica 12-1: Produto de números com diferença 2 entre eles
Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-1 e M+1, onde M é o valor médio entre X e Y e o produto entre eles é (M-1)x(M+1)=M² -1, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 1.

Exemplo: 14×12=13² -1=169-1=168
Exemplo: 14×16=15² -1=225-1=224
Exemplo: 34×36=35² -1=1225-1=1224

Dica 12-2: Produto de números com diferença 4 entre eles
Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-2 e M+2, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-2)x(M+2)=M²-4, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 4.

Exemplo: 14×18=16² -4=256-4=252
Exemplo: 24×28=26² -4=576-4=572
Exemplo: 33×37=35² -4=1225-4=1221

Dica 12-3: Produto de números com diferença 6 entre eles
Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-3 e M+3, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-3)x(M+3)=M²-9, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 9.

Exemplo: 14×20=17² -9=289-9=280
Exemplo: 51×57=54² -9=2916-9=2907

Dica 13-1: Multiplicar por 1,5
Somar o número com a sua metade.

Exemplo: 16×1,5=16+8=24
Exemplo: 12,3×1,5=12,3+6,15=18,45

Dica 13-2: Multiplicar por 15
Somar o número com a sua metade e multiplicar por 10.

Exemplo: 16×15 =(16+8)×10=24×10=240
Exemplo: 12,3×15=(12,3+6,15)×10=18,45×10=184,5

Dica 13-3: Multiplicar por 0,15
Somar o número com a sua metade e dividir por 10.

Exemplo: 16×15 =(16 + 8)÷10=24÷10=2,4
Exemplo: 12,3×15=(12,3 + 6,15)÷10=18,45÷10=1,845

Dica 14-1: Multiplicar números com algarismos das dezenas iguais, mas a soma dos algarismos das unidades = 10
Se o primeiro número é [MA] e o segundo número é [MB], o produto é obtido como: (Mx(M+1),AxB)

Justificativa Matemática

[MA]=10M + A, [MB]=10M + B, A+B=10
[MA]x[MB]=(10M+A)x(10M+B)=100M²+10Mx(A+B)+AxB
[MA]x[MB]=100M² + 100M + AxB
[MA]x[MB]=100Mx(M+1) + AxB

Exemplo: 14×16=(1x2,4x6)=(2,24)=224
Exemplo: 17×13=(1x2,7x3)=(2,21)=221
Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224
Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224
Exemplo: 73×77=(7x8,3x7)=(56,21)=5621
Exemplo: 104×106=(10x11,4x6)=(110,24)=11024

Dica 15-1: Elevar ao quadrado número da forma [5P]
Decompõe-se o número em 5 e P,escrevendo-se o produto como (25+P,PxP).

Justificativa Matemática

[5P]=50 + P, logo
(50+P)² = 2500 + 2x50xP + P²
(50+P)² = 2500 + 100 P + P²
(50+P)² = (100x(25+P)+P²

Exemplo: 53²=(25+3,09)=(28,09)=2809
Exemplo: 54²=(25+4,16)=(29,16)=2616
Exemplo: 58²=(25+8,64)=(33,64)=3364
Exemplo: 59²=(25+9,81)=(34,81)=3481

Dica 16-1: Elevar ao quadrado número da forma [M1]
Decompomos o número em duas partes: M e 1. O resultado é a soma da primeira parte elevada ao quadrado com a soma de [M1] com [M0].

Justificativa Matemática

Como (X+1)²=X² + 2X + 1, então
[M1]² = (10M+1)²
[M1]² = 100 M² + 20M + 1
[M1]² = 100 M² + (10M+1) + (10M)
[M1]² = [M²,[M+1+M]]

Exemplo: 31²=[900, 31+30]=[900,61]=961
Exemplo: 71²=[4900,71+70]=[4900,141]=5041
Exemplo: 101²=[10000,101+100]=[10000,201]=10201
Exemplo: 151²=[150²,151+150]=[22500,301]=22801

Dica 17-1: Multiplicar dois números por decomposição
Se o primeiro número X tem um algarismo e o segundo número [YZ] tem dois algarismos, escrevemos [YZ]=10Y+Z e usamos a distributividade dos números reais para realizar o produto.

Justificativa Matemática

Como [YZ] = 10Y + Z, então
X×[YZ] = X × (10Y + Z) = 10×X×Y + X×Z

Exemplo: 8×13=8×10+8×3=80+24=104
Exemplo: 9×17=9×10+9×7=90+63=153
Exemplo: 15×22=15×20+15×2=300+30=330
Exemplo: 1,5×22=1,5×20+1,5×2=30+3=33
Exemplo: 1,5×2,2=(1,5×22)÷10=(1,5×20+1,5×2)÷10= (30+3)÷10=3,3

Dica 18-1: Subtraindo com soma compensada
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos e subtraimos um número D (diferença entre Z e Y) para que ambos tenham os algarismos das unidades iguais até a realização da primeira diferença e depois subtraimos D do resultado obtido anteriormente.

Justificativa Matemática

Se a diferença entre Z e Y é D=Z-Y, então:
[XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z)
[XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z)
[XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z) +D -D
[XY]-[WZ] = 10(X-W) - D

Exemplo: 72-48=72+6-6-48=78-6-48=78-48-6=30-6=24
Exemplo: 57-49=57+2-2-49=59-2-49=10-2=8
Exemplo: 142-88=142+6-6-88=148-88-6=60-6=54

Dica 18-2: Subtraindo com soma compensada
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D aos dois números dados de modo a zerar o algarismo das unidades do menor e então realizamos a diferença.

Justificativa Matemática

Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é
D+Z=10, então:
[XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z)
[XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + Z + D)
[XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + 10)
[XY]-[WZ] = (10X - 10W - 10) + (Y + D)
[XY]-[WZ] = [X-W-1,Y+D]

Exemplo: 72-48=(72+2)-(48+2)=74-50=24
Exemplo: 57-49=(57+1)-(49+1)=58-50=8
Exemplo: 142-87=(142+3)-(87+3)=145-90=55

Dica 18-3: Somando com soma compensada
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao último número e subtraimos D do primeiro número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do segundo número dado e realizamos a soma.

Justificativa Matemática

Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é
D+Z=10, então:
[XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z)
[XY] + [WZ]=(10X + Y - D) + (10W + Z + D)
[XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + 10)
[XY] + [WZ]=(10X + 10W + 10) + (Y + D)
[XY] + [WZ]=[X+W+1,Y+D]

Exemplo: 72+48=(72-2)+(48+2)=70+50=120
Exemplo: 57+49=(57-1)+(49+1)=56+50=106
Exemplo: 142+87=(142-3)+(87+3)=139+90=229

Dica 18-4: Somando com soma compensada
Quando o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao primeiro número e subtraimos D do segundo número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do primeiro número dado e realizamos a soma.

Justificativa Matemática

Se D é a diferença entre 10 e Y, isto é
D+Y=10, então:
[XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z)
[XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + Z - D)
[XY] + [WZ]=(10X + 10) + (10W + Z - D)
[XY] + [WZ]=(10X + 10 + 10W) + (Z - D)
[XY] + [WZ]=[X+W+1,Z-D]

Exemplo: 72+48=(72+8)+(48-8)=80+40=120
Exemplo: 57+49=(57+3)+(49-3)=60+46=106
Exemplo: 142+87=(142+8)+(87-8)=150+79=229

Dica 19-1: Soma dos n primeiros números naturais
Para obter a soma S=1+2+3+...+n, basta tomar a metade do produto de n por n+1.

Justificativa Matemática

Se S = 1 + 2 + 3 + ... + n-2 + n-1 + n,
então, com os naturais trás para frente, obtemos
S = n + n-1 + n-2 + ... + 4 + 3 + 2 + 1
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+...+(n-1+2)+(n+1)
2S=(n+1)+(n+1)+ ... + (n+1)+(n+1) ( n vezes)
2S = n×(n+1)
S = n×(n+1)÷2

Exemplo: 1+2+3+...+12=12×13÷2=156÷2=78
Exemplo: 1+2+3+...+100=100×101÷2=5050
Exemplo: 13+14+...+100=5050-78=4972

Dica 20-1: Soma dos n primeiros números naturais ímpares
A soma S=1+3+5+7+...+2n-1 é obtida como o quadrado de n.

Justificativa Matemática

Seja S=1 + 3 + 5 + ... + 2n-5 + 2n-3 + 2n-1.
Pondo S com os termos de trás para frente
S=2n-1 + 2n-3 + 2n-5 + ... + 5 + 3 + 1
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S=(1+2n-1)+(2+2n-3)+...+(2n-3+3)+(2n-1+1)
2S = 2n + 2n + 2n + ... + 2n ( n vezes)
2S=2n×n
S=n²

Exemplo: 1+3+5+...+5=5²=25
Exemplo: 1+3+5+...+101=101²=10201
Exemplo: 7+9+11+...+101=10201-25=10176

Dica 21-1: Soma dos n primeiros números naturais pares
Para obter a soma S=2+4+6+...+2n, basta multiplicar n por n+1, observando que n é exatamente a metade do último par (2n).

Justificativa Matemática

Seja S=2 + 4 + 6 + 2n-4 + 2n-2 + 2n.
Tomando os termos de trás para frente:
S=2n + 2n-2 + 2n-4 + ... + 6 + 4 + 2
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S=(2+2n)+(4+2n-2)+...+(2n-2+4)+(2n+2)
2S=(2n+2) + (2n+2) + ... + (2n+2) ( n vezes)
2S=n×(2n+2)
S=n×(n+1)

Exemplo: 2+4+6+...+98+100=50×51=2550
Exemplo: 2+4+6+...+14=7×8=56
Exemplo: 16+18+20+...+98+100=2550-56=2494

Dica 22-1: Divisão aproximada por 17 = produto por 0,06
Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 17, basta multiplicar por 6 e dividir por 100

Exemplo: 42÷17:=42x6÷100=252÷100=2,52; (o certo é 2,47)

Exemplo: 150÷17:=150x6÷100=900÷100=9; (o certo é 8,82)

Dica 23-1: Divisão aproximada por 33 = produto por 0,03
Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 33, basta multiplicar por 3 e dividir por 100

Exemplo: 42÷33:=42×3÷100=126÷100=1,26 (±1,27)
Exemplo: 150÷33:=150×3÷100=450÷100=4,5 (±4,55)

EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
a x² + b x + c = 0

Onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1)2 x² + 7x + 5 = 0
2)3 x² + x + 2 = 0

EQUAÇÃO INCOMPLETA DO SEGUNDO GRAU

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1)4 x² + 6x = 0
2)3 x² + 9 = 0
3)2 x² = 0

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO SEGUNDO GRAU

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0

E a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a

EXEMPLOS GERAIS:

4x²=0 tem duas raízes nulas.

4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]

4x²+5=0 não tem raízes reais.

4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO SEGUNDO GRAU

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1)Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

2)Se D=0, há duas soluções iguais:
x' = x" = -b / 2a

3)Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a

O USO DA FÓRMULA DE BHASKARA

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0

1)Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6

2)Escrever o discriminante D = b²-4ac.

3)Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1

4)Escrever a fórmula de Bhaskara:

5)Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS DO SEGUNDO GRAU

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1)3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

2)3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

1)Consideremos o primeiro exemplo:

3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:
MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)

Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:
[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0

O que significa que o numerador deverá ser:
3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0

Que desenvolvido nos dá:
x2 + 3x - 13 = 0

Que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.

2-Consideremos agora o segundo exemplo:

(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)

O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:

(x+3)(x+4)=2x(2x-1)
x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
-3x² + 9x + 12 = 0
3x² - 9x - 12 = 0
x² - 3x - 4 = 0
(x-4)(x+1) = 0

Solução: x'=4 ou x"= -1

3-Estudemos outro exemplo:

3/(x²-4)+1/(x-2)=0

O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:
3 + (x+2)=0

cuja solução é x= -5

EQUAÇÕES BI-QUADRADAS

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:
a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:
y = x²

Para gerar
a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que:
x² = y' ou x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

EXEMPLOS:

1)Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:
x² = 4 ou x² = 9

O que garante que o conjunto solução é:
S = { 2, -2, 3, -3}

2)Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:
x² = -4 ou x² = 9

O que garante que o conjunto solução é:
S = {3, -3}

3)Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:
x² = -4 ou x² = -9
O que garante que o conjunto solução é vazio.

A FÓRMULA QUADRÁTICA DE SRIDHARA(BHASKARA)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:
a x² + b x + c = 0

Com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:
x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

OU

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:


contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

OU

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:



Onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:
D = b² - 4ac

ÁBACO OU SOROBÃ

O ábaco é um instrumento bem sucedido que, segundo os estudiosos, foi uma invenção dos chineses para facilitar os cálculos, pois com o passar do tempo foi surgindo a necessidade de fazer “contas” cada vez mais complexas, assim inventaram o ÁBACO, formado por fios paralelos e contas ou arruelas deslizantes, que de acordo com a sua posição, representa a quantidade a ser trabalhada, contém 2 conjuntos por fio, 5 contas no conjunto das unidades e 2 contas que representam 5 unidades.

O ábaco foi disseminando por toda a sociedade, com a mesma função, o que mudava era somente sua nomenclatura: O ábaco japonês é conhecido como SONOBAN, os russos chamam de TSCHOTY.
Uma pessoa que manuseava um ábaco com agilidade conseguia fazer uma multiplicação de 5 algarismos com a mesma rapidez que uma pessoa faz hoje utilizando uma calculadora digital.
Ainda hoje, depois de 3 mil anos da sua invenção, comerciantes de algumas regiões da Ásia utilizam ainda esse instrumento.

COMO FAZER CÁLCULOS NO ÁBACO?

O cálculo começa à esquerda, ou na coluna mais alta envolvida em seu cálculo, trabalha da esquerda para a direita. Assim, se tiver 548 e desejar somar com 637, primeiro colocará 548 na calculadora. Daí, adiciona 6 ao 5. Segue o padrão 6 = 10 – 4 por remover o 5 na vara das centenas e adicionar 1 na mesma vara (- 5 + 1 = - 4) daí, adicione uma das contas de milhares à vara da esquerda. Daí passa o três ao quatro, o sete ao oito, no ábaco aparecerá a resposta: 1.185.

Por operar assim, da esquerda para a direita, o cálculo pode ser iniciado assim que souber o primeiro dígito. Na aritmética mental ou escrita, o cálculo começa a partir das unidades ou do lado direito do problema.

CONSTRUA O SEU ÁBACO OU SOROBÃ CASEIRO:

http://www.sorobanbrasil.com.br/materias/soroba_tutorial.html


Lembre que após confeccionar o Sorobã vem a parte mais importante:TREINAR!

PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA

Uma SUCESSÃO ARITMÉTICA é também chamada de PROGRESSÃO ARITMÉTICA

.Para esta soma indicada dos respectivos termos chama-se de SÉRIE ARITMÉTICA.


*CLASSIFICAÇÃO DE UMA PA


- INFINITA OU ILIMITADA

Se a progressão aritmética tiver um número infinito de termos, pode ser denominada de “INFINITA ou ILIMITADA”.

Ex.:

(8, 10, 12, 14, 16....)

(5, 10, 15, 20, 25....)

(4, 8, 12, 16, 20 ....)


-FINITA OU LIMITADA

Se a progressão aritmética tiver um número finito de termos, pode ser denominada de “FINITA ou LIMITADA”

Ex.:

(6, 8, 10)

(3, 6, 9)


-EM RELAÇÃO A RAZÃO (r)

Pode ser :

a)CRESCENTE

Quando a razão “r” > 0

Ex.:

(3, 6, 9, 12) ----> r = 3


(2, 4, 6, 8) ----> r = 2


(15, 20, 25, 30) ---> r = 5


b)DECRESCENTE

Quando a razão “r” < 0

Ex.:

(6, 4, 2) ---> r = -2


(12, 9, 6, 3) ----> r = -3


(16, 12, 8, 4) ----> r = -4



c)ESTACIONÁRIA

Quando a razão “r” = 0

Ex.:

(3, 3, 3) ----> r = 0


(7, 7, 7) ----> r = 0


(5, 5, 5) ----> r = 0


* NOTAÇÃO DE UMA PA

Observe os termos abaixo:

(a1, a2, a3, a4, ...., an – 1, an)

Logo pela definição, temos o seguinte:

a2 – a1 = a3 – a2 = an – an – 1 = ... = r

Ex.:

a) (4, 8, 12) é uma PA onde a1 = 4 e r = 4


b) (3, 6, 9) é uma PA onde a1 = 3 e r = 3



* FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA


Partindo da definição inicial, temos:

a2 = a1 + r


a3 = a1 + 2r


a4 = a1 + 3r

.

.

.

aN = a1 + (n – 1)r

ASSIM:


- Exemplos:


A fórmula geral nos permite obter facilmente um termo qualquer de uma progressão aritmética.

a) Calcular o 5º termo da P.A. (1,3,5,....)

Dados do problema:

a1 = 1

n = 5

r = 2

Porquê r = 2 ???

Basta olhar na progressão aritmética fornecida (1, 3, 5,...)

1 + 2 = 3

3 + 2 = 5


Fórmula geral da P.A.


*EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO

1) A razão da P.A. cujo 1º termo é 8 e o 8º termo é 43 tem valor de :

a. ( ) 4

b. ( ) 5

c. ( ) 6

d. ( ) 7

e. ( ) 9

SOLUÇÃO:

Dados do problema:

a1 = 8

an = 43

n = 8

r = ?


an = a1 + (n – 1)r
an = 1 + (5 – 1).2
an = 1 + (4).2 ---> an = 1 + 8 -----> an = 9

OBS:Fórmula geral da PA. Sempre é bom frisar e buscar escrevê-la sempre que for solucionar problemas, assim há uma fixação melhor da fórmula.

*EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO:

1) A razão da P.A. cujo 1º termo é 8 e o 8º termo é 43 tem valor de :

a. ( ) 4

b. ( ) 5

c. ( ) 6

d. ( ) 7

e. ( ) 9

Solução:

Dados do problema:

a1 = 8

an = 43

n = 8

r = ?


an = a1 + (n – 1)r

43 = 8 + (8 – 1)r

43 – 8 = 7r

7r = 35

r = 5

Dessa forma, a resposta correta é a letra “b”

COMO SABER SE O RESULTADO ESTÁ CERTO?

Basta montar a respectiva PA = (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43...)

2) Calcular o 1º termo de uma P.A., onde r = 2 e a5 = 10

a. ( ) 0

b. ( ) 4

c. ( ) 2

d. ( ) 5

e. ( ) 3

Solução:

Dados do problema:

a1 = ?

an = 10

n = 5

r = 2

an = a1 + (n – 1)r

10 = a1 + (5 – 1).2

10 = a1 + (4).2

a1 + 8 = 10

a1 = 10 – 8

a1 = 2

Dessa forma, a resposta correta é a letra “c”

Como saber se o resultado está certo?

Basta montar a respectiva PA = (2, 4, 6, 8, 10, 12...)

CONTEÚDO,EXEMPLOS E EXERCÍCIOS SOBRE PROGRESÃO ARITMÉTICA:

http://www.paulomarques.com.br/arq2-1.htm

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS

PARA RESOLVER PROBLEMAS ALGEBRICAMENTE , BASTA APLICAR SEUS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS EM EQUAÇÕES.

SITUAÇÃO REAL:

1-PROBLEMA

2-INTERPRETAÇÃO

3-EQUACIONAMENTO

4-RESOLUÇÃO


EXEMPLOS:

1) A soma de dois números é 51 e a diferença entre eles é 9. Quais são estes números?

Seja x o número maior e y o número menos:

x+y=51
x-y=9
Pelo método da adição, somamos ambas as equações, eleminando a variável y.
x+x+y-y=60 » 2x=60 » x=30
Substituindo na equação:
x-y=9 » 30-y=9 » y=21

Logo, os números são 30 e 21.

2) A idade de um pai é 6 vezes a idade do filho. A soma das idades é igual a 35 anos. Qual a idade de cada um?

Sendo a idade do pai igual a x e a idade do filho igual a y:
x=6y ....... I
x+y=35 ... II
Pelo método da substituição, substituimos a equação I em II.

6y+y=35 » 7y=35 » y=5

Substituindo o resultado obtido na equação I:
x=6y » x=6.5 » x=30

Logo, a idade do pai é de 30 anos e a do filho de 5 anos.

3) Uma fração é igual a 3/5. Somando-se 2 ao numerador, obtém-se umanova fração, igual a 4/5. Qual é a fração?

Sendo x o numerador e y o denominador:

» 5x=3y [*multiplicando em cruzes ]

» 5(x+2)=4y » 5x+10=4y

5x-3y=0 ..... I
5x-4y=-10 ... II

Multiplicando a equação I pot -1 para podermos eliminar uma variável pelo método da adição:

-5x+3y=0 ... I
5x-4y=-10 .. II
-y = -10 » y=10

Substituindo o valor de y encontrado:
5x=3y » 5x=3.10 » 5x=30 » x=6

Logo, a fração é 6/10.

SINAIS DE FUNÇÕES

1-FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Vamos analisar com um exemplo,

y=2x+4,

se y=0, ou 0=2x+4, x= - 2
se x=0, ou y= 0x+4 y= +4

Trace o eixo dos x e dos y

............. I°4
..............I
..............I
-------------I-----------------
-2

Marque x- -2
e
y=4

Passe uma reta pelos pontos marcados
Agora você verá que para qualquer x sendo

x> -2 , terá y>0,

e para qualquer x sendo x

x< -2 , terá y<0

Ex . Se x= 3, que é maior -2 ,

y=3. 2+4=10 que é positivo.

se x=-4, que é menor que -2,
y= -4 .2+4=-4 que é negativo.

Pode se afirmar que a função ,

y=2x+4,

é negativa para todo x menor que -2

e que a funçao é positiva para todo x maior que -2

e que a função é zero para x= -2 , (raiz da função)

De modo geral ,
em

y=ax+b,

tire a raiz fazendo
ax+b=0,
x=-b/a, ( que é raiz da função)

e apartir deste valor faça a análise como foi feita acima.

No caso a=2

b=4
x=-4/2=-2,

apartir desta raiz foi feita a visualizaçao do sinal da funçaõ do primeiro grau.


2-FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

ax²+bx+c=0,

com delta=
b²-4ac > 0

Aqui teremos dois casos

1°a>0

O grafico é uma parabola de vertice voltado para baixo,
Ex:

x²-5x+6=0
cujas raizes são;
x1=2, e x2=3

a=1
b=-5
c=6

Trace o eixo dos x e y, marque no eixo dos x 2 e 3
Esboce a parabola passando neste pontos e já dissemos que o vertice está para baixo,
ai verá que a função é;
negativa para todo x entre 2 e 3
e será positiva para todo x menor que 2 e x maior que 3,
e passará por um valor mínimo em ,

(1) x=-b/(2a),

ou

x=-(-5)/(2)=2,5

a função passa por um minimo em .

x=2,5 ,


2°caso

a<0

Neste caso teremos uma parabola com o vertice para cima,
Ex:
-x²-3x+4=0

tem raizes
x1=1
x2=-4

Nos eixos , marque;
x=1 e x=-4

Esboce a parabóla, com o vertice para cima , passando pelos pontos x marcados , entao voce verá que a funçao é positiva para x maiore que -4 e x menor que 1.
negativa para x menor que -4 , e x maoir que 1.

E a funçaõ passará por um ponto de máximo para (1),

-(-3)/(2.-1)= - 1,5

Outra situaçao pode acontecer quando o delta= b²-4ac,
da função for negativo.
neste caso a funçao nao tem raizes no campo real , mas parabola existe , e naõ corta o eixo dos x,

1- se a>0, sera de vertice para baixo .

e o ponto de minima será calculado, com (1),
2-Se a<0 , terá o vétice para cima, e o ponto de maxima calculado com(1)

FUNÇÃO CONSTANTE

Dado um número real k, chama-se FUNÇÃO CONSTANTE a função f : R -> R, definida por f(x) = k.

O gráfico é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto de ordenadas y = k.

O domínio da função é D(f) = R e a imagem é Im(f) = {k}
(FIGURA ACIMA)

DOMÍNIO

O DOMÍNIO consiste determinar os valores reais de x, para os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R, para isso teremos que determinar a condição de existência (C.E) da função dada.

Exemplos e determinação da C.E. nas diferentes situações:

1) f(x) = x -> D = R , determinar as raízes da função.


2) f(x) = (4x + 3) / x -> CE: x diferente de zero (denominador) -> D = R – {0}


3) f(x) = -> CE: x > 0 -> D = { x E R / x > 0}


4) f(x) = / x -> CE: Vx .: x > 0 e x diferente de zero


5) f(x) = / -> CE: numerador: x > 0 e denominador: x > 0