No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressÕes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
ELEMENTOS HISTÓRICOS
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo:
a = 7+5+4
b = 5+20-87
c = (6+8)-10
d = (5×4)+15
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:
A = 2a+7b
B = (3c+4)-5
C = 23c+4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
MONÔMIOS E POLINÔMIOS
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação.
Os principais tipos são apresentados:
MONÔMIO(1 TERMO)- m(x,y)=3xy
BINôMIO(2 TERMOS)- b(x,y) = 6 x²y - 7y
TRINÔMIO(3TERMOS)- f(x) = a x² + bx + c
POLINÔMIO(VÁRIOS)- p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an
IDENTIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS:
3x²y
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
p(x,y) = 3x²y
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA IDENTIFICADA
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 × (-1)² × 5 = 3 × 5 = 15
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
p(7,2) = 3 × (-7)² × 2 = 294
A REGRA DOS SINAIS(MULTIPLICAÇÃO OU DIVISÃO)
(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1
REGRAS DA POTENCIAÇÃO
Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:
PROPRIEDADES
xº=1 (x não nulo)
Exemplo 5º = 1
xm xn = xm+n
Exemplo5².54 = 56
xm ym = (xy)m
Exemplo 5² 3² = 15²
xm ÷ xn = xm-n
Exemplo 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m
Exemplo 5² ÷ 3² = (5/3)²
(xm)n = xmn
Exemplo (53)² = 125² = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n
Exemplo 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm
Exemplo 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n
Exemplo 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2
ELIMINAÇÃO DOS PARÊNTESES EM MONÔMIOS
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE MONÔMIOS
Adição ou Subtração de Monômios
Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
Multiplicação de Monômios
Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²
B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²
C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²
D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²
Divisão de Monômios
Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x
B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x
C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x
D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x
Potenciação de Monômios
Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³
B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³
ALGUNS PRODUTOS NOTÁVEIS
NO LINK "PRODUTOS NOTÁVEIS" EXISTEM 12 PRODUTOS NOTÁVEIS.
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