sexta-feira, 5 de dezembro de 2008

GEOMETRIA ESPACIAL,CONE


O CONCEITO DE CONE

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.

ELEMENTOS DO CONE

BASE: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

VÉRTICE: O vértice do cone é o ponto P.

EIXO: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

GERATRIZ: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

ALTURA: Distância do vértice do cone ao plano da base.

SUPERFÍCIE LATERAL: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

SUPERFÍCIE DO CONE: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

SEÇÃO MERIDIANA: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

CLASSIFICAÇÃO DO CONE

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos.

Um CONE é dito RETO quando o eixo é perpendicular ao plano da base.

É OBLÍQUO quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os CONES RETOS. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais.
Por exemplo, um CONE é dito CIRCULAR se a base é um círculo e é dito ELÍPTICO se a base é uma região elíptica.

ÁREA LATERAL

4. A ÁREA LATERAL de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):


ALat = Pi R g

5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

ATotal = Pi R g + Pi R2

CONES EQUILÁTEROS

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A ÁREA DA BASE DO CONE É DADA POR:

ABase=Pi R2


PELO TEOREMA DE PITÁGORAS TEMOS:

(2R)2 = h2 + R2
h2 = 4R2 - R2 = 3R2



Assim:

h = R

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) Pi R3

Como a área lateral pode ser obtida por:

ALat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R2

então a área total será dada por:

ATotal = 3 Pi R2

(Projeto matweb)

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