sábado, 6 de dezembro de 2008

EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU


Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
a x² + b x + c = 0

Onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1)2 x² + 7x + 5 = 0
2)3 x² + x + 2 = 0

EQUAÇÃO INCOMPLETA DO SEGUNDO GRAU

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1)4 x² + 6x = 0
2)3 x² + 9 = 0
3)2 x² = 0

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO SEGUNDO GRAU

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0

E a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a

EXEMPLOS GERAIS:

4x²=0 tem duas raízes nulas.

4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]

4x²+5=0 não tem raízes reais.

4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO SEGUNDO GRAU

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1)Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

2)Se D=0, há duas soluções iguais:
x' = x" = -b / 2a

3)Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a

O USO DA FÓRMULA DE BHASKARA

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0

1)Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6

2)Escrever o discriminante D = b²-4ac.

3)Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1

4)Escrever a fórmula de Bhaskara:

5)Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS DO SEGUNDO GRAU

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1)3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

2)3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

1)Consideremos o primeiro exemplo:

3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:
MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)

Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:
[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0

O que significa que o numerador deverá ser:
3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0

Que desenvolvido nos dá:
x2 + 3x - 13 = 0

Que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.

2-Consideremos agora o segundo exemplo:

(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)

O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:

(x+3)(x+4)=2x(2x-1)
x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
-3x² + 9x + 12 = 0
3x² - 9x - 12 = 0
x² - 3x - 4 = 0
(x-4)(x+1) = 0

Solução: x'=4 ou x"= -1

3-Estudemos outro exemplo:

3/(x²-4)+1/(x-2)=0

O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:
3 + (x+2)=0

cuja solução é x= -5

EQUAÇÕES BI-QUADRADAS

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:
a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:
y = x²

Para gerar
a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que:
x² = y' ou x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

EXEMPLOS:

1)Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:
x² = 4 ou x² = 9

O que garante que o conjunto solução é:
S = { 2, -2, 3, -3}

2)Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:
x² = -4 ou x² = 9

O que garante que o conjunto solução é:
S = {3, -3}

3)Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:
x² = -4 ou x² = -9
O que garante que o conjunto solução é vazio.

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