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DICAS DE CÁLCULOS RÁPIDOS

Cinquenta dicas para cálculo rápido,comumente encontradas no cotidiano e no comércio em geral. Mostradas em 23 grupos de dicas, sendo que os ítens do mesmo grupo apresentam características semelhantes.

Dica 01-1: Multiplicar por 10
Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita.

Exemplo: 12×10=120
Exemplo: 12,345×10=123,45

Dica 01-2: Multiplicar por 100
Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×100=1200
Exemplo: 12,345×100=1234,5

Dica 01-3: Multiplicar por 1000
Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×1000=12000
Exemplo: 12,345×1000=12345

Dica 01-4: Multiplicar por 10n
Deslocar a vírgula n casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×107=120000000
Exemplo: 12,345×107=123450000

Dica 02-1: Dividir por 10
Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda.

Exemplo: 12÷10=1,2
Exemplo: 12,345÷10=1,2345

Dica 02-2: Dividir por 100
Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷100=0,12
Exemplo: 12,345÷100=0,12345

Dica 02-3: Dividir por 1000
Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷1000=0,0120
Exemplo: 12,345÷1000=0,012345

Dica 02-4: Dividir por 10n
Deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷107=0,0000012
Exemplo: 12,345÷107=0,0000012345

Dica 03-1: Multiplicar por 4 = Dividir por 0,25
Tomar o dobro do dobro do número.

Exemplo: 4×16=2×2×16=2×32=64
Exemplo: 12,3×4=2×2×12,3=2×24,6=49,2

Dica 03-2: Multiplicar por 0,4 = Dividir por 2,5
Tomar o dobro do dobro do número e dividir por 10.

Exemplo: 0,4x16=2x2x16÷10=2x32÷10=64÷10=6,4
Exemplo: 0,4x12,3=2x2x12,3÷10=2x24,6÷10 =49,2÷10=4,92

Dica 03-3: Multiplicar por 40 = Dividir por 0,25
Tomar o dobro do dobro do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 40×16=2×2×16×10=2×32×10=64×10=640
Exemplo: 40x12,3=2x2x12,3×10=2x24,6×10 =49,2x10=492

Dica 04-1: Dividir por 4 = Multiplicar por 0,25
Tomar a metade da metade do número.

Exemplo: 16÷4=16÷2÷2=8÷2=4
Exemplo: 12,3÷4=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075

Dica 04-2: Dividir por 0,4 = multiplicar por 2,5
Tomar a metade da metade do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 16÷0,4=16÷2÷2x10=8÷2x10= 4x10=40
Exemplo: 12,3÷0,4=12,3÷2÷2x10=6,15÷2x10 =3,075x10=30,75

Dica 04-3: Dividir por 40 = Multiplicar por 0,25
Tomar a metade da metade do número e dividir por 10.

Exemplo: 16÷40=16÷2÷2÷10=8÷2÷10=4÷10=0,4
Exemplo: 12,3÷40=12,3÷2÷2÷10= 6,15÷2÷10 =3,075÷10=0,3075

Dica 05-1: Multiplicar por 5 = Dividir por 0,2
Tomar a metade do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 5×16=16÷2×10=8×10=80
Exemplo: 5×12,3=12,3÷2×10=6,15×10=61,5

Dica 05-2: Multiplicar por 0,5 = Dividir por 2
Tomar a metade do número.

Exemplo: 0,5×16=16÷2=8
Exemplo: 0,5×12,3=12,3÷2=6,15

Dica 05-3: Multiplicar por 50 = Dividir por 0,02
Tomar a metade do número e multiplicar por 100.

Exemplo: 50×16=16÷2×100=8×100=800
Exemplo: 50×12,3=12,3÷2×100=6,15×100=615

Dica 06-1: Dividir por 5 = Multiplicar por 0,2
Tomar o dobro do número e dividir por 10.

Exemplo: 16÷5=2×16÷10=32÷10=3,2
Exemplo: 12,3÷5=12,3×2÷10=24,6÷10=2,46

Dica 06-2: Dividir por 0,5 = Multiplicar por 2
Tomar o dobro do número.

Exemplo: 16÷0,5=2×16=32
Exemplo: 12,3÷0,5=12,3×2=24,6

Dica 06-3: Dividir por 50 = Multiplicar por 0,02
Tomar o dobro do número.

Exemplo: 16÷50=2×16÷100=32÷100=0,32
Exemplo: 12,3÷50=2×12,3÷100=24,6÷100=0,246

Dica 07-1: Elevar ao quadrado número da forma [M5]
Decompõe-se o número em duas partes: M e 5. A primeira parte M deve ser multiplicada por M+1 e ao resultado se acrescenta 25.

Justificativa Matemática

[M5] = 10M + 5 logo
[M5]² = (10M+5)² = 100 M² + 100M + 25
(10M+5)² = 100 (M² + M) + 25
(10M+5)² = 100 M × (M+1) + 25

Exemplo: 35²=(3x4)25=1225
Exemplo: 75²=(7x8)25=5625
Exemplo: 105²=(10x11)25=11025
Exemplo: 205²=(20x21)25=42025

Dica 08-1: Multiplicar por 11
Se o número tem dois algarismos na forma [MN] com M+N<10 então o produto é escrito como [M,M+N,N].

Justificativa Matemática

Como [MN] = 10M + N, então
(10M+N) × 11 = (10M+N) × (10+1)
(10M+N) × 11 = 100M + 10M + 10N + 1
(10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1
(10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1 = [M,M+N,1]

Exemplo: 35×11=(3,8,5)=385
Exemplo: 27×11=(2,9,7)=297

Dica 08-2: Multiplicar por 11
Se o número tem dois algarismos na forma [MN] e M+N>10 então, escreve-se [M+1,M+N-10,N].

Justificativa Matemática

Como [MN] = 10M + N, então
(10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1
(10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1
(10M+N)×11=100M +100 - 100 + 10(M+N)+1
(10M+N)×11=100(M+1)+10(M+N-10)+1=[M+1,M+N-10,1]

Exemplo: 78×11=(8,5,8)=858
Exemplo: 95×11=(10,4,5)=1045

Dica 08-3: Multiplicar por 11
Se o número tem três algarismos na forma [ABC] e A+B+C<10 então, escreve-se [A, A+B, B+C, C].

Justificativa Matemática

Como [ABC] = 100A + 10B + C, então
(100A+10B+C)×11 = (100A+10B+C)×(10+1)
(100A+10B+C)×11 = 1000A+100B+10C+100A+10B+C
(100A+10B+C)×11 = 1000A+100(A+B)+10(B+C)+C
(100A+10B+C)×11 = [A,A+B,B+C,C]

Exemplo: 134×11=(1,1+3,3+4,4)=(1,4,7,4)=1474
Exemplo: 235×11=(2,2+3,3+5,5)=(2,5,8,5)=2585

Dica 09-1: Multiplicar por 25 ou Dividir por 0,04
Dividir o número por 4 e multiplicar por 100.

Exemplo: 16×25=16÷2÷2×100=8÷2×100=4×100=400
Exemplo: 12,3×25=12,3÷2÷2×100=6,15÷2×100 =3,075×100=307,5

Dica 09-2: Multiplicar por 2,5 = dividir por 0,4
Dividir o número por 4 e multiplicar por 10.

Exemplo: 16×2,5=16÷2÷2×10=8÷2×10=4×10=40
Exemplo: 12,3×2,5=12,3÷2÷2×10=6,15÷2×10 =3,075×10=30,75

Dica 09-3: Multiplicar por 0,25 = dividir por 4
Dividir o número por 4.

Exemplo: 16×0,25=16÷2÷2=8÷2=4
Exemplo: 12,3×0,25=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075

Dica 10-1: Multiplicar por 101
Se o número tem dois algarismos na forma [AB] escreve-se o produto na forma [A,B,A,B]

Exemplo: 35×101=(3,5,3,5)=3535
Exemplo: 27×101=(2,7,2,7)=2727

Dica 10-2: Multiplicar por 101
Se o número tem três algarismos na forma [ABC] com A+C<10, escreve-se [A,B,A+C,B,C].

Justificativa Matemática

Como [ABC] = 100A + 10B + C, então
[ABC]×101 = (100A+10B+C)×101
[ABC]×101 = (100A+10B+C)×(100+1)
[ABC]×101 = 10000A+1000B+100C+100A+10B+C
[ABC]×101 = 10000A+1000B+100(A+C)+10B+C
[ABC]×101 = [A,B,A+C,B,C]

Exemplo: 435×101=(4,3,(4+5),3,5)=(4,3,9,3,5)=43935
Exemplo: 257×101=(2,5,(2+7),5,7) =(2,5,9,5,7)=25957

Dica 11-1: Multiplicar por 9
Se o número tem a forma [MN], basta acrescentar um zero no final do número MN (multiplicar por 10) e retirar o próprio número MN.

Exemplo: 35×9=350-35=315
Exemplo: 27×9=270-27=243

Dica 11-2: Multiplicar por 99
Se o número tem a forma MN, como 99=100 - 1, basta acrescentar dois zeros ao número MN (multiplicar por 100) e retirar o próprio número MN.

Exemplo: 35×99=3500-35=3465
Exemplo: 27×99=2700-27=2673

Dica 12-1: Produto de números com diferença 2 entre eles
Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-1 e M+1, onde M é o valor médio entre X e Y e o produto entre eles é (M-1)x(M+1)=M² -1, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 1.

Exemplo: 14×12=13² -1=169-1=168
Exemplo: 14×16=15² -1=225-1=224
Exemplo: 34×36=35² -1=1225-1=1224

Dica 12-2: Produto de números com diferença 4 entre eles
Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-2 e M+2, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-2)x(M+2)=M²-4, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 4.

Exemplo: 14×18=16² -4=256-4=252
Exemplo: 24×28=26² -4=576-4=572
Exemplo: 33×37=35² -4=1225-4=1221

Dica 12-3: Produto de números com diferença 6 entre eles
Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-3 e M+3, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-3)x(M+3)=M²-9, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 9.

Exemplo: 14×20=17² -9=289-9=280
Exemplo: 51×57=54² -9=2916-9=2907

Dica 13-1: Multiplicar por 1,5
Somar o número com a sua metade.

Exemplo: 16×1,5=16+8=24
Exemplo: 12,3×1,5=12,3+6,15=18,45

Dica 13-2: Multiplicar por 15
Somar o número com a sua metade e multiplicar por 10.

Exemplo: 16×15 =(16+8)×10=24×10=240
Exemplo: 12,3×15=(12,3+6,15)×10=18,45×10=184,5

Dica 13-3: Multiplicar por 0,15
Somar o número com a sua metade e dividir por 10.

Exemplo: 16×15 =(16 + 8)÷10=24÷10=2,4
Exemplo: 12,3×15=(12,3 + 6,15)÷10=18,45÷10=1,845

Dica 14-1: Multiplicar números com algarismos das dezenas iguais, mas a soma dos algarismos das unidades = 10
Se o primeiro número é [MA] e o segundo número é [MB], o produto é obtido como: (Mx(M+1),AxB)

Justificativa Matemática

[MA]=10M + A, [MB]=10M + B, A+B=10
[MA]x[MB]=(10M+A)x(10M+B)=100M²+10Mx(A+B)+AxB
[MA]x[MB]=100M² + 100M + AxB
[MA]x[MB]=100Mx(M+1) + AxB

Exemplo: 14×16=(1x2,4x6)=(2,24)=224
Exemplo: 17×13=(1x2,7x3)=(2,21)=221
Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224
Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224
Exemplo: 73×77=(7x8,3x7)=(56,21)=5621
Exemplo: 104×106=(10x11,4x6)=(110,24)=11024

Dica 15-1: Elevar ao quadrado número da forma [5P]
Decompõe-se o número em 5 e P,escrevendo-se o produto como (25+P,PxP).

Justificativa Matemática

[5P]=50 + P, logo
(50+P)² = 2500 + 2x50xP + P²
(50+P)² = 2500 + 100 P + P²
(50+P)² = (100x(25+P)+P²

Exemplo: 53²=(25+3,09)=(28,09)=2809
Exemplo: 54²=(25+4,16)=(29,16)=2616
Exemplo: 58²=(25+8,64)=(33,64)=3364
Exemplo: 59²=(25+9,81)=(34,81)=3481

Dica 16-1: Elevar ao quadrado número da forma [M1]
Decompomos o número em duas partes: M e 1. O resultado é a soma da primeira parte elevada ao quadrado com a soma de [M1] com [M0].

Justificativa Matemática

Como (X+1)²=X² + 2X + 1, então
[M1]² = (10M+1)²
[M1]² = 100 M² + 20M + 1
[M1]² = 100 M² + (10M+1) + (10M)
[M1]² = [M²,[M+1+M]]

Exemplo: 31²=[900, 31+30]=[900,61]=961
Exemplo: 71²=[4900,71+70]=[4900,141]=5041
Exemplo: 101²=[10000,101+100]=[10000,201]=10201
Exemplo: 151²=[150²,151+150]=[22500,301]=22801

Dica 17-1: Multiplicar dois números por decomposição
Se o primeiro número X tem um algarismo e o segundo número [YZ] tem dois algarismos, escrevemos [YZ]=10Y+Z e usamos a distributividade dos números reais para realizar o produto.

Justificativa Matemática

Como [YZ] = 10Y + Z, então
X×[YZ] = X × (10Y + Z) = 10×X×Y + X×Z

Exemplo: 8×13=8×10+8×3=80+24=104
Exemplo: 9×17=9×10+9×7=90+63=153
Exemplo: 15×22=15×20+15×2=300+30=330
Exemplo: 1,5×22=1,5×20+1,5×2=30+3=33
Exemplo: 1,5×2,2=(1,5×22)÷10=(1,5×20+1,5×2)÷10= (30+3)÷10=3,3

Dica 18-1: Subtraindo com soma compensada
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos e subtraimos um número D (diferença entre Z e Y) para que ambos tenham os algarismos das unidades iguais até a realização da primeira diferença e depois subtraimos D do resultado obtido anteriormente.

Justificativa Matemática

Se a diferença entre Z e Y é D=Z-Y, então:
[XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z)
[XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z)
[XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z) +D -D
[XY]-[WZ] = 10(X-W) - D

Exemplo: 72-48=72+6-6-48=78-6-48=78-48-6=30-6=24
Exemplo: 57-49=57+2-2-49=59-2-49=10-2=8
Exemplo: 142-88=142+6-6-88=148-88-6=60-6=54

Dica 18-2: Subtraindo com soma compensada
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D aos dois números dados de modo a zerar o algarismo das unidades do menor e então realizamos a diferença.

Justificativa Matemática

Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é
D+Z=10, então:
[XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z)
[XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + Z + D)
[XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + 10)
[XY]-[WZ] = (10X - 10W - 10) + (Y + D)
[XY]-[WZ] = [X-W-1,Y+D]

Exemplo: 72-48=(72+2)-(48+2)=74-50=24
Exemplo: 57-49=(57+1)-(49+1)=58-50=8
Exemplo: 142-87=(142+3)-(87+3)=145-90=55

Dica 18-3: Somando com soma compensada
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao último número e subtraimos D do primeiro número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do segundo número dado e realizamos a soma.

Justificativa Matemática

Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é
D+Z=10, então:
[XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z)
[XY] + [WZ]=(10X + Y - D) + (10W + Z + D)
[XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + 10)
[XY] + [WZ]=(10X + 10W + 10) + (Y + D)
[XY] + [WZ]=[X+W+1,Y+D]

Exemplo: 72+48=(72-2)+(48+2)=70+50=120
Exemplo: 57+49=(57-1)+(49+1)=56+50=106
Exemplo: 142+87=(142-3)+(87+3)=139+90=229

Dica 18-4: Somando com soma compensada
Quando o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao primeiro número e subtraimos D do segundo número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do primeiro número dado e realizamos a soma.

Justificativa Matemática

Se D é a diferença entre 10 e Y, isto é
D+Y=10, então:
[XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z)
[XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + Z - D)
[XY] + [WZ]=(10X + 10) + (10W + Z - D)
[XY] + [WZ]=(10X + 10 + 10W) + (Z - D)
[XY] + [WZ]=[X+W+1,Z-D]

Exemplo: 72+48=(72+8)+(48-8)=80+40=120
Exemplo: 57+49=(57+3)+(49-3)=60+46=106
Exemplo: 142+87=(142+8)+(87-8)=150+79=229

Dica 19-1: Soma dos n primeiros números naturais
Para obter a soma S=1+2+3+...+n, basta tomar a metade do produto de n por n+1.

Justificativa Matemática

Se S = 1 + 2 + 3 + ... + n-2 + n-1 + n,
então, com os naturais trás para frente, obtemos
S = n + n-1 + n-2 + ... + 4 + 3 + 2 + 1
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+...+(n-1+2)+(n+1)
2S=(n+1)+(n+1)+ ... + (n+1)+(n+1) ( n vezes)
2S = n×(n+1)
S = n×(n+1)÷2

Exemplo: 1+2+3+...+12=12×13÷2=156÷2=78
Exemplo: 1+2+3+...+100=100×101÷2=5050
Exemplo: 13+14+...+100=5050-78=4972

Dica 20-1: Soma dos n primeiros números naturais ímpares
A soma S=1+3+5+7+...+2n-1 é obtida como o quadrado de n.

Justificativa Matemática

Seja S=1 + 3 + 5 + ... + 2n-5 + 2n-3 + 2n-1.
Pondo S com os termos de trás para frente
S=2n-1 + 2n-3 + 2n-5 + ... + 5 + 3 + 1
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S=(1+2n-1)+(2+2n-3)+...+(2n-3+3)+(2n-1+1)
2S = 2n + 2n + 2n + ... + 2n ( n vezes)
2S=2n×n
S=n²

Exemplo: 1+3+5+...+5=5²=25
Exemplo: 1+3+5+...+101=101²=10201
Exemplo: 7+9+11+...+101=10201-25=10176

Dica 21-1: Soma dos n primeiros números naturais pares
Para obter a soma S=2+4+6+...+2n, basta multiplicar n por n+1, observando que n é exatamente a metade do último par (2n).

Justificativa Matemática

Seja S=2 + 4 + 6 + 2n-4 + 2n-2 + 2n.
Tomando os termos de trás para frente:
S=2n + 2n-2 + 2n-4 + ... + 6 + 4 + 2
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S=(2+2n)+(4+2n-2)+...+(2n-2+4)+(2n+2)
2S=(2n+2) + (2n+2) + ... + (2n+2) ( n vezes)
2S=n×(2n+2)
S=n×(n+1)

Exemplo: 2+4+6+...+98+100=50×51=2550
Exemplo: 2+4+6+...+14=7×8=56
Exemplo: 16+18+20+...+98+100=2550-56=2494

Dica 22-1: Divisão aproximada por 17 = produto por 0,06
Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 17, basta multiplicar por 6 e dividir por 100

Exemplo: 42÷17:=42x6÷100=252÷100=2,52; (o certo é 2,47)

Exemplo: 150÷17:=150x6÷100=900÷100=9; (o certo é 8,82)

Dica 23-1: Divisão aproximada por 33 = produto por 0,03
Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 33, basta multiplicar por 3 e dividir por 100

Exemplo: 42÷33:=42×3÷100=126÷100=1,26 (±1,27)
Exemplo: 150÷33:=150×3÷100=450÷100=4,5 (±4,55)

EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
a x² + b x + c = 0

Onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1)2 x² + 7x + 5 = 0
2)3 x² + x + 2 = 0

EQUAÇÃO INCOMPLETA DO SEGUNDO GRAU

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1)4 x² + 6x = 0
2)3 x² + 9 = 0
3)2 x² = 0

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO SEGUNDO GRAU

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0

E a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a

EXEMPLOS GERAIS:

4x²=0 tem duas raízes nulas.

4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]

4x²+5=0 não tem raízes reais.

4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO SEGUNDO GRAU

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1)Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

2)Se D=0, há duas soluções iguais:
x' = x" = -b / 2a

3)Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a

O USO DA FÓRMULA DE BHASKARA

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0

1)Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6

2)Escrever o discriminante D = b²-4ac.

3)Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1

4)Escrever a fórmula de Bhaskara:

5)Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS DO SEGUNDO GRAU

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1)3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

2)3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

1)Consideremos o primeiro exemplo:

3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:
MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)

Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:
[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0

O que significa que o numerador deverá ser:
3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0

Que desenvolvido nos dá:
x2 + 3x - 13 = 0

Que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.

2-Consideremos agora o segundo exemplo:

(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)

O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:

(x+3)(x+4)=2x(2x-1)
x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
-3x² + 9x + 12 = 0
3x² - 9x - 12 = 0
x² - 3x - 4 = 0
(x-4)(x+1) = 0

Solução: x'=4 ou x"= -1

3-Estudemos outro exemplo:

3/(x²-4)+1/(x-2)=0

O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:
3 + (x+2)=0

cuja solução é x= -5

EQUAÇÕES BI-QUADRADAS

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:
a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:
y = x²

Para gerar
a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que:
x² = y' ou x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

EXEMPLOS:

1)Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:
x² = 4 ou x² = 9

O que garante que o conjunto solução é:
S = { 2, -2, 3, -3}

2)Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:
x² = -4 ou x² = 9

O que garante que o conjunto solução é:
S = {3, -3}

3)Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:
x² = -4 ou x² = -9
O que garante que o conjunto solução é vazio.

A FÓRMULA QUADRÁTICA DE SRIDHARA(BHASKARA)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:
a x² + b x + c = 0

Com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:
x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

OU

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:


contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

OU

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:



Onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:
D = b² - 4ac

ÁBACO OU SOROBÃ

O ábaco é um instrumento bem sucedido que, segundo os estudiosos, foi uma invenção dos chineses para facilitar os cálculos, pois com o passar do tempo foi surgindo a necessidade de fazer “contas” cada vez mais complexas, assim inventaram o ÁBACO, formado por fios paralelos e contas ou arruelas deslizantes, que de acordo com a sua posição, representa a quantidade a ser trabalhada, contém 2 conjuntos por fio, 5 contas no conjunto das unidades e 2 contas que representam 5 unidades.

O ábaco foi disseminando por toda a sociedade, com a mesma função, o que mudava era somente sua nomenclatura: O ábaco japonês é conhecido como SONOBAN, os russos chamam de TSCHOTY.
Uma pessoa que manuseava um ábaco com agilidade conseguia fazer uma multiplicação de 5 algarismos com a mesma rapidez que uma pessoa faz hoje utilizando uma calculadora digital.
Ainda hoje, depois de 3 mil anos da sua invenção, comerciantes de algumas regiões da Ásia utilizam ainda esse instrumento.

COMO FAZER CÁLCULOS NO ÁBACO?

O cálculo começa à esquerda, ou na coluna mais alta envolvida em seu cálculo, trabalha da esquerda para a direita. Assim, se tiver 548 e desejar somar com 637, primeiro colocará 548 na calculadora. Daí, adiciona 6 ao 5. Segue o padrão 6 = 10 – 4 por remover o 5 na vara das centenas e adicionar 1 na mesma vara (- 5 + 1 = - 4) daí, adicione uma das contas de milhares à vara da esquerda. Daí passa o três ao quatro, o sete ao oito, no ábaco aparecerá a resposta: 1.185.

Por operar assim, da esquerda para a direita, o cálculo pode ser iniciado assim que souber o primeiro dígito. Na aritmética mental ou escrita, o cálculo começa a partir das unidades ou do lado direito do problema.

CONSTRUA O SEU ÁBACO OU SOROBÃ CASEIRO:

http://www.sorobanbrasil.com.br/materias/soroba_tutorial.html


Lembre que após confeccionar o Sorobã vem a parte mais importante:TREINAR!

PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA

Uma SUCESSÃO ARITMÉTICA é também chamada de PROGRESSÃO ARITMÉTICA

.Para esta soma indicada dos respectivos termos chama-se de SÉRIE ARITMÉTICA.


*CLASSIFICAÇÃO DE UMA PA


- INFINITA OU ILIMITADA

Se a progressão aritmética tiver um número infinito de termos, pode ser denominada de “INFINITA ou ILIMITADA”.

Ex.:

(8, 10, 12, 14, 16....)

(5, 10, 15, 20, 25....)

(4, 8, 12, 16, 20 ....)


-FINITA OU LIMITADA

Se a progressão aritmética tiver um número finito de termos, pode ser denominada de “FINITA ou LIMITADA”

Ex.:

(6, 8, 10)

(3, 6, 9)


-EM RELAÇÃO A RAZÃO (r)

Pode ser :

a)CRESCENTE

Quando a razão “r” > 0

Ex.:

(3, 6, 9, 12) ----> r = 3


(2, 4, 6, 8) ----> r = 2


(15, 20, 25, 30) ---> r = 5


b)DECRESCENTE

Quando a razão “r” < 0

Ex.:

(6, 4, 2) ---> r = -2


(12, 9, 6, 3) ----> r = -3


(16, 12, 8, 4) ----> r = -4



c)ESTACIONÁRIA

Quando a razão “r” = 0

Ex.:

(3, 3, 3) ----> r = 0


(7, 7, 7) ----> r = 0


(5, 5, 5) ----> r = 0


* NOTAÇÃO DE UMA PA

Observe os termos abaixo:

(a1, a2, a3, a4, ...., an – 1, an)

Logo pela definição, temos o seguinte:

a2 – a1 = a3 – a2 = an – an – 1 = ... = r

Ex.:

a) (4, 8, 12) é uma PA onde a1 = 4 e r = 4


b) (3, 6, 9) é uma PA onde a1 = 3 e r = 3



* FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA


Partindo da definição inicial, temos:

a2 = a1 + r


a3 = a1 + 2r


a4 = a1 + 3r

.

.

.

aN = a1 + (n – 1)r

ASSIM:


- Exemplos:


A fórmula geral nos permite obter facilmente um termo qualquer de uma progressão aritmética.

a) Calcular o 5º termo da P.A. (1,3,5,....)

Dados do problema:

a1 = 1

n = 5

r = 2

Porquê r = 2 ???

Basta olhar na progressão aritmética fornecida (1, 3, 5,...)

1 + 2 = 3

3 + 2 = 5


Fórmula geral da P.A.


*EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO

1) A razão da P.A. cujo 1º termo é 8 e o 8º termo é 43 tem valor de :

a. ( ) 4

b. ( ) 5

c. ( ) 6

d. ( ) 7

e. ( ) 9

SOLUÇÃO:

Dados do problema:

a1 = 8

an = 43

n = 8

r = ?


an = a1 + (n – 1)r
an = 1 + (5 – 1).2
an = 1 + (4).2 ---> an = 1 + 8 -----> an = 9

OBS:Fórmula geral da PA. Sempre é bom frisar e buscar escrevê-la sempre que for solucionar problemas, assim há uma fixação melhor da fórmula.

*EXERCÍCIOS PARA FIXAÇÃO:

1) A razão da P.A. cujo 1º termo é 8 e o 8º termo é 43 tem valor de :

a. ( ) 4

b. ( ) 5

c. ( ) 6

d. ( ) 7

e. ( ) 9

Solução:

Dados do problema:

a1 = 8

an = 43

n = 8

r = ?


an = a1 + (n – 1)r

43 = 8 + (8 – 1)r

43 – 8 = 7r

7r = 35

r = 5

Dessa forma, a resposta correta é a letra “b”

COMO SABER SE O RESULTADO ESTÁ CERTO?

Basta montar a respectiva PA = (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43...)

2) Calcular o 1º termo de uma P.A., onde r = 2 e a5 = 10

a. ( ) 0

b. ( ) 4

c. ( ) 2

d. ( ) 5

e. ( ) 3

Solução:

Dados do problema:

a1 = ?

an = 10

n = 5

r = 2

an = a1 + (n – 1)r

10 = a1 + (5 – 1).2

10 = a1 + (4).2

a1 + 8 = 10

a1 = 10 – 8

a1 = 2

Dessa forma, a resposta correta é a letra “c”

Como saber se o resultado está certo?

Basta montar a respectiva PA = (2, 4, 6, 8, 10, 12...)

CONTEÚDO,EXEMPLOS E EXERCÍCIOS SOBRE PROGRESÃO ARITMÉTICA:

http://www.paulomarques.com.br/arq2-1.htm

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ALGÉBRICOS

PARA RESOLVER PROBLEMAS ALGEBRICAMENTE , BASTA APLICAR SEUS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS EM EQUAÇÕES.

SITUAÇÃO REAL:

1-PROBLEMA

2-INTERPRETAÇÃO

3-EQUACIONAMENTO

4-RESOLUÇÃO


EXEMPLOS:

1) A soma de dois números é 51 e a diferença entre eles é 9. Quais são estes números?

Seja x o número maior e y o número menos:

x+y=51
x-y=9
Pelo método da adição, somamos ambas as equações, eleminando a variável y.
x+x+y-y=60 » 2x=60 » x=30
Substituindo na equação:
x-y=9 » 30-y=9 » y=21

Logo, os números são 30 e 21.

2) A idade de um pai é 6 vezes a idade do filho. A soma das idades é igual a 35 anos. Qual a idade de cada um?

Sendo a idade do pai igual a x e a idade do filho igual a y:
x=6y ....... I
x+y=35 ... II
Pelo método da substituição, substituimos a equação I em II.

6y+y=35 » 7y=35 » y=5

Substituindo o resultado obtido na equação I:
x=6y » x=6.5 » x=30

Logo, a idade do pai é de 30 anos e a do filho de 5 anos.

3) Uma fração é igual a 3/5. Somando-se 2 ao numerador, obtém-se umanova fração, igual a 4/5. Qual é a fração?

Sendo x o numerador e y o denominador:

» 5x=3y [*multiplicando em cruzes ]

» 5(x+2)=4y » 5x+10=4y

5x-3y=0 ..... I
5x-4y=-10 ... II

Multiplicando a equação I pot -1 para podermos eliminar uma variável pelo método da adição:

-5x+3y=0 ... I
5x-4y=-10 .. II
-y = -10 » y=10

Substituindo o valor de y encontrado:
5x=3y » 5x=3.10 » 5x=30 » x=6

Logo, a fração é 6/10.

SINAIS DE FUNÇÕES

1-FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Vamos analisar com um exemplo,

y=2x+4,

se y=0, ou 0=2x+4, x= - 2
se x=0, ou y= 0x+4 y= +4

Trace o eixo dos x e dos y

............. I°4
..............I
..............I
-------------I-----------------
-2

Marque x- -2
e
y=4

Passe uma reta pelos pontos marcados
Agora você verá que para qualquer x sendo

x> -2 , terá y>0,

e para qualquer x sendo x

x< -2 , terá y<0

Ex . Se x= 3, que é maior -2 ,

y=3. 2+4=10 que é positivo.

se x=-4, que é menor que -2,
y= -4 .2+4=-4 que é negativo.

Pode se afirmar que a função ,

y=2x+4,

é negativa para todo x menor que -2

e que a funçao é positiva para todo x maior que -2

e que a função é zero para x= -2 , (raiz da função)

De modo geral ,
em

y=ax+b,

tire a raiz fazendo
ax+b=0,
x=-b/a, ( que é raiz da função)

e apartir deste valor faça a análise como foi feita acima.

No caso a=2

b=4
x=-4/2=-2,

apartir desta raiz foi feita a visualizaçao do sinal da funçaõ do primeiro grau.


2-FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

ax²+bx+c=0,

com delta=
b²-4ac > 0

Aqui teremos dois casos

1°a>0

O grafico é uma parabola de vertice voltado para baixo,
Ex:

x²-5x+6=0
cujas raizes são;
x1=2, e x2=3

a=1
b=-5
c=6

Trace o eixo dos x e y, marque no eixo dos x 2 e 3
Esboce a parabola passando neste pontos e já dissemos que o vertice está para baixo,
ai verá que a função é;
negativa para todo x entre 2 e 3
e será positiva para todo x menor que 2 e x maior que 3,
e passará por um valor mínimo em ,

(1) x=-b/(2a),

ou

x=-(-5)/(2)=2,5

a função passa por um minimo em .

x=2,5 ,


2°caso

a<0

Neste caso teremos uma parabola com o vertice para cima,
Ex:
-x²-3x+4=0

tem raizes
x1=1
x2=-4

Nos eixos , marque;
x=1 e x=-4

Esboce a parabóla, com o vertice para cima , passando pelos pontos x marcados , entao voce verá que a funçao é positiva para x maiore que -4 e x menor que 1.
negativa para x menor que -4 , e x maoir que 1.

E a funçaõ passará por um ponto de máximo para (1),

-(-3)/(2.-1)= - 1,5

Outra situaçao pode acontecer quando o delta= b²-4ac,
da função for negativo.
neste caso a funçao nao tem raizes no campo real , mas parabola existe , e naõ corta o eixo dos x,

1- se a>0, sera de vertice para baixo .

e o ponto de minima será calculado, com (1),
2-Se a<0 , terá o vétice para cima, e o ponto de maxima calculado com(1)

FUNÇÃO CONSTANTE

Dado um número real k, chama-se FUNÇÃO CONSTANTE a função f : R -> R, definida por f(x) = k.

O gráfico é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo ponto de ordenadas y = k.

O domínio da função é D(f) = R e a imagem é Im(f) = {k}
(FIGURA ACIMA)

DOMÍNIO

O DOMÍNIO consiste determinar os valores reais de x, para os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R, para isso teremos que determinar a condição de existência (C.E) da função dada.

Exemplos e determinação da C.E. nas diferentes situações:

1) f(x) = x -> D = R , determinar as raízes da função.


2) f(x) = (4x + 3) / x -> CE: x diferente de zero (denominador) -> D = R – {0}


3) f(x) = -> CE: x > 0 -> D = { x E R / x > 0}


4) f(x) = / x -> CE: Vx .: x > 0 e x diferente de zero


5) f(x) = / -> CE: numerador: x > 0 e denominador: x > 0

FUNÇÃO COMPOSTA

Dadas as funções f : A -> B e g : B -> C, denominamos função composta de g e f a função gof : A -> C, que é definida por (gof)(x) = g(f(x)), com x pertencente a A. Podemos ter ainda fof, fog e gog.(FIGURA ACIMA)

Exemplo:

Dadas f(x)=2x e g(x)= 3x2+1, calcule:

a)f(g(x))

f(g(x))=2(3x2+1)= 6x2+2

FUNÇÃO INVERSA

Denomina-se função inversa da função bijetora f: A -> B a função f- -1: B -> A, que associa a cada x de B um elemento y de A, tal que y = f- -1 (x).
Para se obter a inversa de uma função devemos:

1) verificar se a função é bijetora ;

2) trocar x por y e y por x;

3) isolar novamente o y, deixando-o em função de x;


O gráfico da função inversa é simétrico ao gráfico da função de origem, em relação à reta y = x, que é bissetriz dos quadrantes ímpares.

Exemplo:(FIGURA ACIMA)

1) Determinar a função inversa de f:R+->R+ onde f(x)=x2 onde x³0

Sendo f, no domínio dado, bijetora temos:

y= x2

x= y2 trocamos x por y

y=Ö x, que é a expressão da inversa de f

FUNÇÃO PAR E ÍMPAR

FUNÇÃO PAR(FIGURA 1)

Dizemos que a função f: A ® B é par se qualquer que seja x Î A Þ f(x) = f(-x), isto é, elementos opostos de A tem imagens iguais.

Obs: O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo vertical (eixo y).


Exemplo:

f(x)=x2

f(x)=f(-x)=x2



FUNÇÃO ÍMPAR(FIGURA 2)

A função f: A ® B é ímpar se qualquer que seja x Î A Þ f(x) = - f(-x), isto é, elementos opostos de A tem imagens diferentes.

Obs: O gráfico da função ímpar é simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.

Exemplo:

f(x)= x3

f(x)=-f(-x)=x3

FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE

FUNÇÃO CRESCENTE

Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com x1 > x2 a função é crescente para f(x1) > f(x2), isto é aumentando valor de x, aumenta o valor de y.
(FIGURA 1 )

FUNÇÃO DECRESCENTE

Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um conjunto A C D(f), com x1 > x2 a função é decrescente para f(x1) < f(x2), isso é aumentando x, diminui o valor de y.
(FIGURA 2)

CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES

CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES

FUNÇÃO INJETORA

Quando elementos diferentes de A correspondem a elementos diferentes de B.(figura 1)

FUNÇÃO SOBREJETORA

Quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elementos de A,isto é,quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio da função.Im(f)=CD(f)

FUNÇÃO BIJETORA

É toda função de A em B que é simultaneamente,injetora e sobrejetora.(FIGURA 3)
Somente a FUNÇÃO BIJETORA admite inversa.

FUNÇÃO SIMPLES

Quando uma função não é nem INJETORA,nem SOBREJETORA é dita simples.

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EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios.
Ex: 2x - 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita

De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.

Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.

2x - 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4

Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.

Equação do 1º grau
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.

ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 )

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:
ax + b = 0 » ax = -b

x = -b / a

* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.

Ex: x - 5 = 0 » x -5 + 3 = 0 + 3 » x = 5

4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2

Resolução de equações do 1º grau:
Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem.

Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro.

Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.

Determine o valor da incógnita x:
a) 2x - 8 = 10

2x = 10 + 8

2x = 18

x = 9 » V = {9}


b) 3 - 7.(1-2x) = 5 - (x+9)

3 -7 + 14x = 5 - x - 9

14x + x = 5 - 9 - 3 + 7

15x= 0

x = 0 » V= {0}

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Vamos ver o que realmente ocorre:

Numa equação:
2x + 8 = 10

Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x "sozinho". Observem:
2x + 8 - 8 = 10 - 8

2x = 2

x = 1

V={1}

A resolução acima é a exposição do que ocorre na resolução de equações do 1º grau. O "macete" de "jogar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizarmos a resolução.
(Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br)

O QUE SÃO EQUAÇÕES E COMO RESOLVÊ-LAS?

O Papiro de Rhind, um dos documentos mais antigos e importantes sobre Matemática egípcia, nos mostra que em 1700 a.C. o homem já trabalhava com problemas que envolviam quantidades desconhecidas. No século III, o matemático grego Diofante dá a esses problemas um tratamento especial, iniciando a teoria das equações. Só a partir do século XVI, no entanto, com o desenvolvimento da notação algébrica, é que a teoria das equações passa a ser um ramo independente da Matemática.
A linguagem algébrica tem sido extremamente importante para a ampliação do conhecimento. Quanto mais a dominamos, mais facilmente podemos expressar e resolver problemas, científicos ou cotidianos.
Estudaremos em seguida as equações algébricas. O que as caracteriza, de modo geral, é a presença de uma variável e o sinal de igualdade.
O sinal de igual (=) tem um significado amplo em Matemática.
Nas equações, é utilizado para expressões que somente são iguais para certos valores (ou para nenhum valor) de suas variáveis.
Aqui, as variáveis são chamadas de termos desconhecidos ou incógnitas.
Escrever essas igualdades equivale a dar às variáveis a condição de igualarem duas expressões.

»IGUALDADE
»IDENTIDADE
»EQUAÇÃO
»ELEMENTOS DE UMA EQUAÇÃO
»SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO
»PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
»EAUAÇÕES EQUIVALENTES
»RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO

CONSTRUÇÃO DO ARCO CAPAZ COM RÉGUA E COMPASSO

1-Traçar um segmento de reta AB;

2-Pelo ponto A, trace uma reta t formando com o segmento AB um ângulo congruente a k (mesma medida que o ângulo k);

3-Traçar uma reta p perpendicular à reta t passando pelo ponto A;

4-Determinar o ponto médio M do segmento AB;

5-Traçar a reta mediatriz m ao segmento AB;

6-Obter o ponto O que é a interseção entre a reta p e a mediatriz m.

7-Com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçar o arco de circunferência localizado acima do segmento AB.

8-O arco que aparece em vermelho no gráfico ao lado é o arco capaz.

OBSERVAÇÃO: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando pelos pontos A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. Na FIGURA 1, os ângulos que passam por A e B e têm vértices em V1, V2, V3, ..., são todos congruentes (a mesma medida).

Na FIGURA 2, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o dobro da medida de n, isto é:

m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)

ÂNGULO SEMI-INSCRITO

ÂNGULO SEMI-INSCRITO ou ÂNGULO DE SEGMENTO é um ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.(FIGURA 1 E 2)
OBSERVAÇÃO:
a medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado.
Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco AXB.

ARCO CAPAZ: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz.(FIGURA 3)

ÂNGULOS INSCRITOS

ÂNGULO INSCRITO:relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.

MEDIDA DO ÂNGULO INSCRITO:a medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é:

m = n/2 = (1/2) m(AB)

ÂNGULO RETO INSCRITO NA CIRCUNFERÊNCIA:o arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.(FIGURA ACIMA)

POLÍGONOS INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA

Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono.(FIGURA 1)

Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é 360 graus.(FIGURA ACIMA)

 + Π= 180 graus
Ê + Ô = 180 graus
 + Ê + Î + Ô = 360 graus

PROPRIEDADES DE ARCOS E CORDAS

Uma CORDA de uma CIRCUNFERÊNCIA é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

OBSERVAÇÕES

Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.

Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.

Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (FIGURA 1).

Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (FIGURA2 2).

Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (FIGURA 3).

POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

POLÍGONO CIRCUNSCRITO a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.(FIGURA 1 ACIMA)

PROPRIEDADE DOS QUADRILÁTEROS CIRCUNSCRITOS:
Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.(FIGURA 2 ACIMA)

RETA TANGENTE COMUM: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.

Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.

CIRCUNFERÊNCIAS INTERNAS: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.

CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.

CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.

As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.

CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.

SEGMENTOS TANGENTES: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.

PROPRIEDADES DAS SECANTES E TANGENTES

Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.


1-Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.


2-Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.


3-Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.(FIGURA ACIMA)

POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UMA CIRCUNFÊNCIA

RETA SECANTE: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.

RETA TANGENTE: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.
(FIGURA ACIMA)

OBSERVAÇÕES:

RAIOS E DIÂMETROS são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.

TANGENTES E SECANTES são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.

RAIO,CORDA E DIÂMETRO

RAIO: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.

CORDA: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.

DIÂMETRO: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro
(FIGURA ACIMA)